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為什么傳動軸的截面做成圓形?今天就從技術(shù)角度來分析一下。
1.扭轉(zhuǎn)的力學(xué)分析
1.扭曲的形式
(1)扭矩符號的約定
(2)圓形截面桿件的扭轉(zhuǎn)變形
圓軸扭轉(zhuǎn)后,橫截面保持平直,形狀和大小不變,半徑保持為軸,各橫截面只相對轉(zhuǎn)動微小的角度γ。
(3)非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)
自由扭轉(zhuǎn):當(dāng)桿件截面為非圓形時(shí),扭轉(zhuǎn)變形時(shí)截面會翹曲,相鄰截面的翹曲程度相同,所以所有縱向纖維的長度不會發(fā)生變化,截面上不會有正應(yīng)力而是剪應(yīng)力。自由扭轉(zhuǎn)只有在等直桿兩端受外扭矩時(shí)才能實(shí)現(xiàn),相鄰截面的翹曲不受外界條件約束。
扭轉(zhuǎn):當(dāng)不等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí),扭矩沿桿長變化,或端面受約束自由翹曲,相鄰截面翹曲程度不同,截面上不僅有剪應(yīng)力,還有正應(yīng)力。實(shí)心截面桿中由約束扭轉(zhuǎn)引起的正應(yīng)力通常很小,可以忽略不計(jì)。然而,對于薄壁截面,法向應(yīng)力太大,不能忽略。
2.基本假設(shè)
(1)平面假說
扭轉(zhuǎn)后,圓形截面保持平坦,其形狀和尺寸保持不變,其半徑保持不變,截面僅相對旋轉(zhuǎn)微小的角度γ。這個(gè)假設(shè)只對圓形截面軸有效,對非圓形截面軸無效。
相鄰截面之間的距離不變,截面上除τzx=τzy外無正應(yīng)力;σx=σy=σz=τxy=0 .
(2)電影類比
普朗特指出,薄膜(液膜)在均勻壓力下的垂度在數(shù)學(xué)上類似于等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)。扭桿與薄膜對比有助于解決扭轉(zhuǎn)問題。如圖5所示,在水平邊界上有一個(gè)均勻的薄膜被拉伸。水平邊界與扭力桿的橫截面邊界具有相同的形狀和大小。當(dāng)薄膜受到小的均勻壓力時(shí),薄膜的每個(gè)點(diǎn)都會產(chǎn)生小的凹陷。如果邊界所在的平面是xy平面,則垂度為z,由于薄膜的柔性,可以假定它不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力,只承受均勻的拉力FT(類似于液膜的表面張力)。根據(jù)分析,扭桿橫截面上某一點(diǎn)任意方向的剪應(yīng)力等于對應(yīng)點(diǎn)處薄膜的垂直斜率。可以看出,扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力等于薄膜的最大斜率。但需要注意的是,最大剪應(yīng)力方向和最大斜率方向是相互垂直的。使用這種假設(shè),具有非圓形橫截面的直桿的最大剪應(yīng)力和相對扭轉(zhuǎn)角可以在下面的表1中獲得。
3.扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算
(1)實(shí)心圓軸
在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下,塑性材料在純剪切下的力學(xué)性質(zhì)為:τ=Gγ,γ為剪切應(yīng)變;γ=φR/L(γ是距離為L的兩段的相對扭轉(zhuǎn)角;φ為扭轉(zhuǎn)端的端面角度,R為圓的外半徑,L為兩段之間的距離)。
在相同的扭矩下,τ τ τ與τ成正比,即τ越大,τ越大。當(dāng)ρ = r時(shí),得到圓形截面邊緣的最大剪應(yīng)力。由于R和IP都是只與截面幾何形狀有關(guān)的量,所以可以表示為Wp=IP/R,稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)截面模量,所以τmax=T/WP??梢钥闯?,桿的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與其橫截面積沒有直接關(guān)系。圓形截面實(shí)心軸的扭轉(zhuǎn)系數(shù)WP≈0.2D3。
圓棒扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭轉(zhuǎn)角φ,GIP是圓截面的扭轉(zhuǎn)剛度,反映了軸抵抗變形的能力。距離為L的兩個(gè)截面的相對扭轉(zhuǎn)角為:
(2)空心圓軸
空心軸的截面扭轉(zhuǎn)系數(shù)約為:WP≈0.2D3(1-α4),0
(3)封閉薄壁管
對于圓管,當(dāng)圓管的壁厚δ遠(yuǎn)小于半徑R0(一般認(rèn)為≤R0/10)時(shí),稱為薄壁圓管。這種管件可以是等截面的任何形狀。因?yàn)槭潜”诠?,所以可以假設(shè)剪應(yīng)力均勻分布在整個(gè)壁厚(T)上,可以得到近似解。根據(jù)剪應(yīng)力的互易性,可以得出管段上所有點(diǎn)的平均軸向剪應(yīng)力等于管壁的乘積,即剪流Q相等。因?yàn)镼值在整個(gè)截面上是恒定的,所以剪應(yīng)力在最小壁厚處最大。當(dāng)管道截面為圓形時(shí),AM = π r0,增大圓柱體直徑可以大大降低剪應(yīng)力值。
二、扭轉(zhuǎn)破壞形式
1.破壞順序
在扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)中,試樣橫截面上的應(yīng)力分布是不均勻的,表面最大,向中心方向較小。所以在扭轉(zhuǎn)時(shí),材料的破壞是由外向內(nèi)的,裂紋首先從圓桿的最外層開始。在工程中,扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)常用于檢查材料的表面缺陷和表面硬化層的性能。如圖7所示。
2.塑料材料
對于低碳鋼等塑性材料制成的圓軸,在扭轉(zhuǎn)過程中軸的表面首先屈服,隨著扭轉(zhuǎn)變形的增大,圓周最終沿截面剪切。由于材料的抗剪能力低于抗拉能力,且在截面上具有最大剪應(yīng)力,所以斷裂發(fā)生在截面上,表現(xiàn)為剪切破壞。工程中,截面外緣的最大剪應(yīng)力達(dá)到材料的剪切屈服極限τs為危險(xiǎn)狀態(tài),并以此為基礎(chǔ)建立強(qiáng)度條件。而當(dāng)邊緣的剪應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí),其他部分仍處于線彈性工作狀態(tài),圓棒不會有明顯的塑性變形,即扭矩可以繼續(xù)增大。當(dāng)考慮材料的塑性時(shí),實(shí)心圓棒的極限扭矩(塑性扭矩)比屈服扭矩大1/3(工程簡化計(jì)算結(jié)果)。當(dāng)截面邊緣的剪應(yīng)力達(dá)到材料的剪切屈服極限τs時(shí),隨著扭轉(zhuǎn)偶矩的增大,塑性區(qū)逐漸向內(nèi)擴(kuò)展,截面邊緣的材料開始強(qiáng)化。如果扭轉(zhuǎn)力偶繼續(xù)增加,裂紋將首先從圓棒的最外層開始,最后沿橫截面被剪切。如圖8所示。
3.脆性材料
由抗拉強(qiáng)度低于抗剪強(qiáng)度的脆性材料(如鑄鐵)制成的圓軸在扭轉(zhuǎn)破壞時(shí),變形很小,在與軸線成45°左右傾角的螺旋面上斷裂。因?yàn)樵谂c軸線成135°的斜面上有最大拉應(yīng)力,當(dāng)這個(gè)截面上的最大拉應(yīng)力超過材料的抗拉強(qiáng)度極限時(shí),這個(gè)截面上就會發(fā)生拉伸破壞。如圖9所示。
4.原木的扭轉(zhuǎn)破壞
圓木桿的內(nèi)扭矩T不僅在截面上產(chǎn)生一個(gè)徑向線性剪應(yīng)力,而且在軸向平面上也產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的剪應(yīng)力,導(dǎo)致軸向平面上的開裂。由于木材是各向異性材料,軸向平行于纖維的剪切力比垂直于纖維橫截面的剪切力小得多,因而呈現(xiàn)如圖10所示的開裂形式。
三。軸的扭轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)
1.不同截面桿件的扭轉(zhuǎn)性能
根據(jù)彈性理論分析,正方形截面、三角形截面和橢圓形截面的最大應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式如圖所示。在所有情況下,最大剪應(yīng)力存在于截面邊界線上最靠近中心軸的位置。從封閉薄壁管的角度來看,相對于中心軸線最薄的位置剪應(yīng)力最大。
設(shè)圓、正方形、正三角形、橢圓的面積都為S,受的力矩t相同,那么,正方形的邊長為a=S 1/2,正三角形的邊長為a≈2.3S 1/2。從圖中給出的最大應(yīng)力計(jì)算公式可以看出,在相同的截面積和扭矩下,正三角形截面上的最大剪應(yīng)力約為正方形的1.8倍;對于橢圓,當(dāng)a=b時(shí)為圓形,a=0.56S 1/2時(shí),正方形的最大剪應(yīng)力約為圓形的1.32倍;當(dāng)a≠b為橢圓,且1 > b/a = λ > 0時(shí),橢圓的最大剪應(yīng)力與圓的最大剪應(yīng)力之比為λS -2,因此λ越小,其剪應(yīng)力比圓的大。
通過以上比較可以得出,在相同的截面和相同的扭矩下,圓形截面上的最大剪應(yīng)力最小,扭轉(zhuǎn)角小于非圓形截面的軸。所以把傳動軸做成圓形,在抗扭方面有天然的比較優(yōu)勢。將上述結(jié)果推廣到任意截面,可以證明圓形截面軸的效率最高[5]。
2.根據(jù)扭矩估計(jì)軸的直徑。
當(dāng)重要官的長度和跨度未確定時(shí),無法得到支座反力和彎矩。對于多支點(diǎn)或不重要的軸,通常根據(jù)軸所承受的扭矩來估算軸徑,如表1所示。a是與材料有關(guān)的系數(shù),可從參考文獻(xiàn)[7]中得到。
3.管軸
這是由于在扭轉(zhuǎn)載荷下圓形橫截面軸的大表面剪切應(yīng)力和相對小的芯部。因此,通過去除未充分發(fā)揮其作用的部分芯材,可以有效地減輕軸的重量并提高軸的彎曲性能。但是,軸類零件是否一定要做成空心的,不僅需要力學(xué)上的考慮,還需要工藝性和制造成本。同時(shí),壁厚不能太薄,否則會出現(xiàn)局部褶皺,失去承載能力。當(dāng)圓柱體的壁厚δ遠(yuǎn)小于半徑R0(一般認(rèn)為≤R0/10)時(shí),稱為薄壁圓柱體。然而,如果薄壁管具有沿軸線的縱向開口,其扭轉(zhuǎn)性能將顯著降低。因此,通常采用增加隔板等措施來提高其抗扭剛度和強(qiáng)度。
4.應(yīng)力集中
軸通常由不同的部分組成。在截面過渡位置,空間的突變會引起應(yīng)力集中,這也是軸類零件常見的失效形式。如何選擇和確定兩個(gè)相鄰截面的大直徑和過渡圓角可在參考文獻(xiàn)[7,8]中找到。
5.圓柱螺旋彈簧
圓柱彈簧是機(jī)械工程中的一種常見零件。其基本特征是彈性變形大,軸呈螺旋狀。在設(shè)計(jì)中,通常考慮負(fù)載大的彈簧的強(qiáng)度;但一般考慮彈簧在小載荷下的變形;一般來說,不重要的彈簧只需要根據(jù)結(jié)構(gòu)尺寸來選擇。彈簧的設(shè)計(jì)計(jì)算方法見參考文獻(xiàn)[8],也見GB/T1239系列標(biāo)準(zhǔn)、GB/T2089、DIN2089等標(biāo)準(zhǔn)。
四。材料的剪切和拉伸性能
在靜載荷作用下,材料在扭轉(zhuǎn)和拉伸時(shí)的力學(xué)性能有一定的關(guān)系,所以許用剪應(yīng)力[τ]由材料的[σ]決定:
從上表可以看出,文獻(xiàn)[1,2]中給出的剪應(yīng)力與正應(yīng)力的關(guān)系是不同的。根據(jù)文獻(xiàn)[2]提供的幾種塑性材料的剪應(yīng)力與正應(yīng)力之比,0.5~0.7[σ]較為合適,在沒有確切的剪應(yīng)力數(shù)據(jù)時(shí),上述關(guān)系只是一個(gè)粗略的估計(jì)。如果要進(jìn)行精確的檢查,有必要獲得材料的比扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。