為什么傳動(dòng)軸的截面做成圓形？今天就從技術(shù)角度來分析一下。

1.扭轉(zhuǎn)的力學(xué)分析

1.扭曲的形式

(1)扭矩符號(hào)的約定

(2)圓形截面桿件的扭轉(zhuǎn)變形

圓軸扭轉(zhuǎn)后，橫截面保持平直，形狀和大小不變，半徑保持為軸，各橫截面只相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)微小的角度γ。

(3)非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)

自由扭轉(zhuǎn):當(dāng)桿件截面為非圓形時(shí)，扭轉(zhuǎn)變形時(shí)截面會(huì)翹曲，相鄰截面的翹曲程度相同，所以所有縱向纖維的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，截面上不會(huì)有正應(yīng)力而是剪應(yīng)力。自由扭轉(zhuǎn)只有在等直桿兩端受外扭矩時(shí)才能實(shí)現(xiàn)，相鄰截面的翹曲不受外界條件約束。

扭轉(zhuǎn):當(dāng)不等直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，扭矩沿桿長(zhǎng)變化，或端面受約束自由翹曲，相鄰截面翹曲程度不同，截面上不僅有剪應(yīng)力，還有正應(yīng)力。實(shí)心截面桿中由約束扭轉(zhuǎn)引起的正應(yīng)力通常很小，可以忽略不計(jì)。然而，對(duì)于薄壁截面，法向應(yīng)力太大，不能忽略。

2.基本假設(shè)

(1)平面假說

扭轉(zhuǎn)后，圓形截面保持平坦，其形狀和尺寸保持不變，其半徑保持不變，截面僅相對(duì)旋轉(zhuǎn)微小的角度γ。這個(gè)假設(shè)只對(duì)圓形截面軸有效，對(duì)非圓形截面軸無效。

相鄰截面之間的距離不變，截面上除τzx=τzy外無正應(yīng)力；σx=σy=σz=τxy=0 .

(2)電影類比

普朗特指出，薄膜(液膜)在均勻壓力下的垂度在數(shù)學(xué)上類似于等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)。扭桿與薄膜對(duì)比有助于解決扭轉(zhuǎn)問題。如圖5所示，在水平邊界上有一個(gè)均勻的薄膜被拉伸。水平邊界與扭力桿的橫截面邊界具有相同的形狀和大小。當(dāng)薄膜受到小的均勻壓力時(shí)，薄膜的每個(gè)點(diǎn)都會(huì)產(chǎn)生小的凹陷。如果邊界所在的平面是xy平面，則垂度為z，由于薄膜的柔性，可以假定它不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，只承受均勻的拉力FT(類似于液膜的表面張力)。根據(jù)分析，扭桿橫截面上某一點(diǎn)任意方向的剪應(yīng)力等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)處薄膜的垂直斜率?？梢钥闯?，扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力等于薄膜的最大斜率。但需要注意的是，最大剪應(yīng)力方向和最大斜率方向是相互垂直的。使用這種假設(shè)，具有非圓形橫截面的直桿的最大剪應(yīng)力和相對(duì)扭轉(zhuǎn)角可以在下面的表1中獲得。

3.扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算

(1)實(shí)心圓軸

在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，塑性材料在純剪切下的力學(xué)性質(zhì)為:τ=Gγ，γ為剪切應(yīng)變；γ=φR/L(γ是距離為L(zhǎng)的兩段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角；φ為扭轉(zhuǎn)端的端面角度，R為圓的外半徑，L為兩段之間的距離)。

在相同的扭矩下，τ τ τ與τ成正比，即τ越大，τ越大。當(dāng)ρ = r時(shí)，得到圓形截面邊緣的最大剪應(yīng)力。由于R和IP都是只與截面幾何形狀有關(guān)的量，所以可以表示為Wp=IP/R，稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)截面模量，所以τmax=T/WP。可以看出，桿的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與其橫截面積沒有直接關(guān)系。圓形截面實(shí)心軸的扭轉(zhuǎn)系數(shù)WP≈0.2D3。

圓棒扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭轉(zhuǎn)角φ，GIP是圓截面的扭轉(zhuǎn)剛度，反映了軸抵抗變形的能力。距離為L(zhǎng)的兩個(gè)截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為:

(2)空心圓軸

空心軸的截面扭轉(zhuǎn)系數(shù)約為:WP≈0.2D3(1-α4)，0

(3)封閉薄壁管

對(duì)于圓管，當(dāng)圓管的壁厚δ遠(yuǎn)小于半徑R0(一般認(rèn)為≤R0/10)時(shí)，稱為薄壁圓管。這種管件可以是等截面的任何形狀。因?yàn)槭潜”诠?，所以可以假設(shè)剪應(yīng)力均勻分布在整個(gè)壁厚(T)上，可以得到近似解。根據(jù)剪應(yīng)力的互易性，可以得出管段上所有點(diǎn)的平均軸向剪應(yīng)力等于管壁的乘積，即剪流Q相等。因?yàn)镼值在整個(gè)截面上是恒定的，所以剪應(yīng)力在最小壁厚處最大。當(dāng)管道截面為圓形時(shí)，AM = π r0，增大圓柱體直徑可以大大降低剪應(yīng)力值。

二、扭轉(zhuǎn)破壞形式

1.破壞順序

在扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)中，試樣橫截面上的應(yīng)力分布是不均勻的，表面最大，向中心方向較小。所以在扭轉(zhuǎn)時(shí)，材料的破壞是由外向內(nèi)的，裂紋首先從圓桿的最外層開始。在工程中，扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)常用于檢查材料的表面缺陷和表面硬化層的性能。如圖7所示。

2.塑料材料

對(duì)于低碳鋼等塑性材料制成的圓軸，在扭轉(zhuǎn)過程中軸的表面首先屈服，隨著扭轉(zhuǎn)變形的增大，圓周最終沿截面剪切。由于材料的抗剪能力低于抗拉能力，且在截面上具有最大剪應(yīng)力，所以斷裂發(fā)生在截面上，表現(xiàn)為剪切破壞。工程中，截面外緣的最大剪應(yīng)力達(dá)到材料的剪切屈服極限τs為危險(xiǎn)狀態(tài)，并以此為基礎(chǔ)建立強(qiáng)度條件。而當(dāng)邊緣的剪應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，其他部分仍處于線彈性工作狀態(tài)，圓棒不會(huì)有明顯的塑性變形，即扭矩可以繼續(xù)增大。當(dāng)考慮材料的塑性時(shí)，實(shí)心圓棒的極限扭矩(塑性扭矩)比屈服扭矩大1/3(工程簡(jiǎn)化計(jì)算結(jié)果)。當(dāng)截面邊緣的剪應(yīng)力達(dá)到材料的剪切屈服極限τs時(shí)，隨著扭轉(zhuǎn)偶矩的增大，塑性區(qū)逐漸向內(nèi)擴(kuò)展，截面邊緣的材料開始強(qiáng)化。如果扭轉(zhuǎn)力偶繼續(xù)增加，裂紋將首先從圓棒的最外層開始，最后沿橫截面被剪切。如圖8所示。

3.脆性材料

由抗拉強(qiáng)度低于抗剪強(qiáng)度的脆性材料(如鑄鐵)制成的圓軸在扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，變形很小，在與軸線成45°左右傾角的螺旋面上斷裂。因?yàn)樵谂c軸線成135°的斜面上有最大拉應(yīng)力，當(dāng)這個(gè)截面上的最大拉應(yīng)力超過材料的抗拉強(qiáng)度極限時(shí)，這個(gè)截面上就會(huì)發(fā)生拉伸破壞。如圖9所示。

4.原木的扭轉(zhuǎn)破壞

圓木桿的內(nèi)扭矩T不僅在截面上產(chǎn)生一個(gè)徑向線性剪應(yīng)力，而且在軸向平面上也產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的剪應(yīng)力，導(dǎo)致軸向平面上的開裂。由于木材是各向異性材料，軸向平行于纖維的剪切力比垂直于纖維橫截面的剪切力小得多，因而呈現(xiàn)如圖10所示的開裂形式。

三。軸的扭轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)

1.不同截面桿件的扭轉(zhuǎn)性能

根據(jù)彈性理論分析，正方形截面、三角形截面和橢圓形截面的最大應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式如圖所示。在所有情況下，最大剪應(yīng)力存在于截面邊界線上最靠近中心軸的位置。從封閉薄壁管的角度來看，相對(duì)于中心軸線最薄的位置剪應(yīng)力最大。

設(shè)圓、正方形、正三角形、橢圓的面積都為S，受的力矩t相同，那么，正方形的邊長(zhǎng)為a=S 1/2，正三角形的邊長(zhǎng)為a≈2.3S 1/2。從圖中給出的最大應(yīng)力計(jì)算公式可以看出，在相同的截面積和扭矩下，正三角形截面上的最大剪應(yīng)力約為正方形的1.8倍；對(duì)于橢圓，當(dāng)a=b時(shí)為圓形，a=0.56S 1/2時(shí)，正方形的最大剪應(yīng)力約為圓形的1.32倍；當(dāng)a≠b為橢圓，且1 > b/a = λ > 0時(shí)，橢圓的最大剪應(yīng)力與圓的最大剪應(yīng)力之比為λS -2，因此λ越小，其剪應(yīng)力比圓的大。

通過以上比較可以得出，在相同的截面和相同的扭矩下，圓形截面上的最大剪應(yīng)力最小，扭轉(zhuǎn)角小于非圓形截面的軸。所以把傳動(dòng)軸做成圓形，在抗扭方面有天然的比較優(yōu)勢(shì)。將上述結(jié)果推廣到任意截面，可以證明圓形截面軸的效率最高[5]。

2.根據(jù)扭矩估計(jì)軸的直徑。

當(dāng)重要官的長(zhǎng)度和跨度未確定時(shí)，無法得到支座反力和彎矩。對(duì)于多支點(diǎn)或不重要的軸，通常根據(jù)軸所承受的扭矩來估算軸徑，如表1所示。a是與材料有關(guān)的系數(shù)，可從參考文獻(xiàn)[7]中得到。

3.管軸

這是由于在扭轉(zhuǎn)載荷下圓形橫截面軸的大表面剪切應(yīng)力和相對(duì)小的芯部。因此，通過去除未充分發(fā)揮其作用的部分芯材，可以有效地減輕軸的重量并提高軸的彎曲性能。但是，軸類零件是否一定要做成空心的，不僅需要力學(xué)上的考慮，還需要工藝性和制造成本。同時(shí)，壁厚不能太薄，否則會(huì)出現(xiàn)局部褶皺，失去承載能力。當(dāng)圓柱體的壁厚δ遠(yuǎn)小于半徑R0(一般認(rèn)為≤R0/10)時(shí)，稱為薄壁圓柱體。然而，如果薄壁管具有沿軸線的縱向開口，其扭轉(zhuǎn)性能將顯著降低。因此，通常采用增加隔板等措施來提高其抗扭剛度和強(qiáng)度。

4.應(yīng)力集中

軸通常由不同的部分組成。在截面過渡位置，空間的突變會(huì)引起應(yīng)力集中，這也是軸類零件常見的失效形式。如何選擇和確定兩個(gè)相鄰截面的大直徑和過渡圓角可在參考文獻(xiàn)[7，8]中找到。

5.圓柱螺旋彈簧

圓柱彈簧是機(jī)械工程中的一種常見零件。其基本特征是彈性變形大，軸呈螺旋狀。在設(shè)計(jì)中，通?？紤]負(fù)載大的彈簧的強(qiáng)度；但一般考慮彈簧在小載荷下的變形；一般來說，不重要的彈簧只需要根據(jù)結(jié)構(gòu)尺寸來選擇。彈簧的設(shè)計(jì)計(jì)算方法見參考文獻(xiàn)[8]，也見GB/T1239系列標(biāo)準(zhǔn)、GB/T2089、DIN2089等標(biāo)準(zhǔn)。

四。材料的剪切和拉伸性能

在靜載荷作用下，材料在扭轉(zhuǎn)和拉伸時(shí)的力學(xué)性能有一定的關(guān)系，所以許用剪應(yīng)力[τ]由材料的[σ]決定:

從上表可以看出，文獻(xiàn)[1，2]中給出的剪應(yīng)力與正應(yīng)力的關(guān)系是不同的。根據(jù)文獻(xiàn)[2]提供的幾種塑性材料的剪應(yīng)力與正應(yīng)力之比，0.5~0.7[σ]較為合適，在沒有確切的剪應(yīng)力數(shù)據(jù)時(shí)，上述關(guān)系只是一個(gè)粗略的估計(jì)。如果要進(jìn)行精確的檢查，有必要獲得材料的比扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。