在彈性力學(xué)問題中，物體的形狀和大小(即物體的邊界)、物體的彈性常數(shù)、物體的物理強(qiáng)度、物體邊界上的約束或表面力通常是已知的，而應(yīng)力分量、變形分量和位移分量是待求解的未知量。

如何從這些已知量中求出未知量？彈性的研究方法是在彈性體區(qū)域建立三組方程，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)的條件。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上變形與位移的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與變形之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，邊界條件應(yīng)建立在彈性體的邊界上。即在給定表面力的邊界上，根據(jù)邊界上微分體的平衡條件建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束與位移之間的關(guān)系建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問題，即從邊界條件下的平衡微分方程、幾何方程和物理方程中求解應(yīng)力分量、變形分量和位移分量。

在研究任何一門學(xué)科時(shí)，總是不可能把所有的影響因素都考慮進(jìn)去，否則問題會(huì)變得太復(fù)雜而無法解決。所以，任何一門學(xué)科，總是先分析各種影響因素，主要影響因素必須考慮，影響不大的因素必須省略。然后對(duì)這些主要因素進(jìn)行抽象概括，建立所謂的“物理模型”，并對(duì)模型進(jìn)行研究。當(dāng)然，研究結(jié)果可以應(yīng)用于任何符合物理模型的實(shí)際物體。在彈性問題上，通過對(duì)主要影響因素的分析，歸結(jié)到彈性的以下基本假設(shè)。首先，對(duì)物體的材料屬性做了以下四個(gè)基本假設(shè):

一

連續(xù)性

假設(shè)物體是連續(xù)的，即假設(shè)物體的整個(gè)體積都被組成物體的介質(zhì)填滿，不留空隙，物體中的一些物理量，如應(yīng)力、變形、位移等。，可以是連續(xù)的，因而可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。其實(shí)所有的物體都是由粒子組成的，嚴(yán)格來說不符合上述假設(shè)。但是可以想象，只要粒子的大小和相鄰粒子之間的距離遠(yuǎn)小于物體的大小，那么關(guān)于物體連續(xù)性的假設(shè)就不會(huì)產(chǎn)生重大誤差。

二

完全彈性

假設(shè)物體是完全彈性的。所謂完全彈性，是指“引起變形的外力去除后，物體能完全恢復(fù)原來的形狀，沒有任何殘余變形”。這樣，物體在任何一個(gè)瞬間的變形完全是由該瞬間所受的外力決定的，與它過去的受力情況無關(guān)。從材料力學(xué)可知，塑性材料在應(yīng)力達(dá)到屈服極限之前是近似完全彈性體；脆性材料物體在應(yīng)力沒有超過比例極限之前，也是近似的完全彈性體。在一般彈性力學(xué)中，完全彈性的假設(shè)還包括變形與引起變形的應(yīng)力成正比的含義，即兩者之間存在線性關(guān)系。因此，這種線性完全彈性體中的應(yīng)力和變形服從虎克定律，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或變形而變化。

三

均勻性

假設(shè)物體是均勻的，也就是說，整個(gè)物體是由同一種材料制成的。這樣整個(gè)物體的各個(gè)部分都具有相同的彈性，所以物體的彈性不隨位置坐標(biāo)而變化。如果一個(gè)物體是由兩種或兩種以上的物質(zhì)組成的，比如混凝土，那么只要每種物質(zhì)的粒子都遠(yuǎn)小于物體，并且均勻分布在物體中，那么這個(gè)物體就可以被認(rèn)為是均勻的。

四

各向同性

假設(shè)物體是各向同性的，即物體的彈性在各個(gè)方向都是相同的。這樣，物體的彈性常數(shù)不隨方向變化。顯然，木、竹制成的構(gòu)件不能視為各向同性體。至于鋼制成的構(gòu)件，雖然含有各向異性的晶體，但鋼構(gòu)件的彈性(包括無數(shù)微小晶體隨機(jī)排列時(shí)的宏觀彈性)在各個(gè)方向上大致相同，因?yàn)榫w微小且隨機(jī)排列。

滿足上述四個(gè)假設(shè)的物體稱為理想彈性體。此外，物體的變形狀態(tài)假設(shè)如下。

五

位移和變形小。

也就是說，假設(shè)一個(gè)物體受力后，整個(gè)物體所有點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體原來的大小，應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)角度都遠(yuǎn)小于1。這樣，在建立物體變形后的平衡方程時(shí)，可以方便地用變形前的尺寸代替變形后的尺寸，而不會(huì)產(chǎn)生明顯的誤差。在考察物體變形與位移的關(guān)系時(shí)，旋轉(zhuǎn)角與應(yīng)變的二次和更高次冪或乘積相對(duì)于自身可以忽略。比如對(duì)于小旋轉(zhuǎn)角α，有cos α = 1-1/2α+≈ 1，sinα=α-1/3！α + ≈α，tanα=α+1/3α+≈α；對(duì)于小的正應(yīng)變?chǔ)舩，有1/1+ε = 1-ε x+ε x+≈ 1-ε x，以此類推。這些彈性力學(xué)中的幾何方程被簡化為線性方程。

在上述假設(shè)下，彈性的問題都是線性問題，這樣原理就可以疊加了。